Что такое аксиома, теорема или доказательство?

Математика — это наука о количестве. 

Любая вещь, которую можно умножить, разделить или измерить, называется количеством. Таким образом, линия - это количество, потому что она может быть удвоена, утроена или уменьшена вдвое и может быть измерена.

 

Вес — это количество, которое можно измерить в  г, кг и тоннах.

 

Время — это вид количества, мера которого может быть выражена в часах, минутах и секундах.

 

Но цвет — это не количество. Нельзя сказать,  что один цвет вдвое больше, или наполовину больше, чем другой. Деятельность разума, как мысль, выбор, желание, ненависть не являются количествами. Их нельзя измерить.

 

Наиболее важные части математики: арифметикой, алгеброй и геометрией.

Арифметика — это наука о числах. Его помощь требуется для завершения и применения расчетов, почти в каждом другом отделении математики.

 

Алгебра — это метод вычисления буквами и другими символами. Флюксия или дифференциальное и интегральное исчисление, могут рассматриваться как принадлежащие к высшим разделам алгебры.

 

Геометрия — это та часть математики, которая относится к величине. Под величиной понимается тот вид количества, которое расширяется, то есть который имеет одно или несколько из трех измерений, длину, ширину и толщину.

 

Поверхность — это величина, имеющая длину и ширину.

 

Твердое тело — это величина, имеющая длину, ширину и толщину. Но движение хоть и количество, не является, строго говоря, величиной. Она не имеет ни длины, ни ширины, ни толщины. Тригонометрия и конические сечения являются ветвями математики, в которых принципы геометрии применяются к треугольникам и сечениям конуса.

 

Математика либо чистая, либо смешанная. В чистой математике количества рассматриваются независимо от фактически существующих веществ. Но, в смешанной математике отношения величин исследованы, в связи с некоторыми свойствами материи или бизнесом. В геодезии математические принципы применяются к измерению земли, в оптике - к свойствам света и в астрономии - к движениям  небесных тел.

 

Наука о чистой математике издавна отличалась ясностью и отчетливостью своих принципов  и непреодолимой убежденностью, которую они несут в разуме каждого, кто когда-то познакомился с ними. Это должно быть объяснено, отчасти характером субъектов, а отчасти точностью определений, аксиом и доказательств.

 

Основа всех математических знаний должна быть заложена в определениях. Определение - это объяснение того, что подразумевается под любым словом или фразой. Равносторонний треугольник определяется как  фигура, ограниченная тремя равными сторонами. Для полного определения важно, чтобы оно идеально отличало определенную вещь от любой другой. По многим темам трудно дать такую точность языку, чтобы он передавал каждому слушателю или читателю точно такие же идеи. Но, в математике, основные термины могут быть определены так, чтобы не оставить места для наименьшего различия сомнений, не теряя их значения, смысла.  Под заголовком определения могут быть включены пояснения к символам, которые используются для обозначения отношений величин. Символ √ означает квадратный корень.

Следующим шагом, после ознакомления со значением математических терминов, является их объединение в виде предложений. Некоторые соотношения величин не требуют процесса рассуждения, чтобы сделать их очевидными. Чтобы их понять, их нужно только предложить.

 

Квадрат — это фигура, отличная от круга; что вся вещь больше, чем одна из ее частей или что две прямые линии не могут заключать пространство, предложения являются настолько истинными, что никакие рассуждения не могут  сделать их более определенными. Поэтому их называют самоочевидными истинами или аксиомами. Проще говоря, аксиома - это теорема, которая не требует доказательств.

 

Однако существует сравнительно мало математических истин, которые являются самоочевидными. Большинство из них должны быть доказаны цепочкой рассуждений. Предложения такого рода называются теоремами, а процесс, посредством которого они оказываются истинными, называется доказательством. Это способ объяснения, при котором каждый вывод немедленно выводится либо из определений, либо из принципов, которые были ранее продемонстрированы. 

Помимо основных теорем в математике существуют также Леммы и следствия. Лемма — это предложение, которое демонстрируется с целью его использования в доказательстве некоторого другого предложения. 

 

Следствием этого является вывод из предыдущего предложения. Непосредственным объектом исследования в математике часто является не демонстрация общей истины, а метод выполнения какой-либо операции, такой как сокращение  дроби, извлечение корня Куба или вписывание круга в квадрат. Это называется решением проблемы. Теорема — это то, что нужно доказать. 

То, что требуется сделать, настолько легко, насколько это очевидно каждому, без объяснения причин, это называется постулатом. Например, прямая линия из одной точки в другую.