ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи с прикладным содержанием (вариант 1)

Предлагаем разобрать три задачи, приведенные ниже. Это задание № 10 из ЕГЭ прошлых лет, рекомендованные как тренировочные.

 

 

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием     f = 30 см. Расстояние "d₁" от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние "d₂" от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение:

 

 

Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

 

 

Поскольку f = 30 имеем:

 

 

Наименьшему возможному "d₁" значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность:

 

 

в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого

 

  

которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя "d₂".

 

Поэтому

 

d₂ = 180

 

Откуда:

 

 

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию.

 

 

---

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка "f" больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону:

 

 

Где:

 

c – скорость звука (в м/с).

 

Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.

 

 

Задача сводится к решению неравенства:

 

f (  – f₀  10

 

при известном значении постоянной f₀ = 440 Гц:

 

 

Получили, что минимальная скорость должна быть равна 7 м/с.