Планиметрическая задача

 

 

 

 

 а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.

 

б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:

 

AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.

 

По теореме Пифагора, получим:

 

\(TB^2=AT^2+AB^2\) 

 

По теореме о касательной и секущей, получим:

 

 

Отсюда следует, что:

 

 

Рассуждая подобным образом, получим:

 

 

Далее из теоремы синусов получим, что:

 

BC = 2r · sin ∠BTC.

 

Обозначим через «h» искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

 

 

 

Отсюда получаем, что:

 

 

После преобразований, получаем: