ЕГЭ по математике, профильный уровень. Иррациональное уравнение

 

 

а) Решите уравнение .

 

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  \([-\sqrt3;\sqrt30]\).

 

Основным способом решения таких уравнений является возведение «в квадрат» обеих частей уравнения. Это позволяет избавиться от квадратного корня, а значит, уйти от иррациональности. Однако возведение обеих частей «в квадрат» накладывает существенное условие, которое необходимо выполнять. А именно – правая часть уравнения должна быть обязательно больше или равна нулю.

 

а) Начнем решать это уравнение:

 

 

Как видите, мы учли, что правая часть исходного уравнения «3 – х» больше или равна нулю. После возведения в квадрат обеих частей мы раскрыли скобки в правой части по формуле сокращенного умножения, перенесли получившееся выражение в левую часть и привели подобные. Получилось кубическое уравнение. Сгруппируем выражение в левой части:

 

 

Как видите, из получившихся трех корней только два удовлетворяют условию «3 – х» больше или равна нулю.

Первая часть задания выполнена, уравнение решено.

 

б) Чтобы найти корни, удовлетворяющие заданному промежутку, необходимо оценить, чему будет равен «корень из трех» и «корень из 30», относительно «-2» и «2», не забывая о «минусе» перед числами. Либо оценить и сравнить между собой «квадраты» всех участвующих в оценке чисел, т.е. «квадрат 2», «квадрат корня из 3» и «квадрат корня из 30». Получаем, что:

 

 

Отсюда видно, что заданному отрезку \([-\sqrt3;\sqrt30]\)  принадлежит только число 2.

 

Ответ: а) {-2;2};  б)  2.