Учимся решать задачи по планиметрии

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Предметы

Специализации

Условие:

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Решение

а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).

Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°

Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.

б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:

Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:

Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)

Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:

\(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)

Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

Ответ: \(1 \over 15\)

Автор - Андрей Найденов

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе "Альфа". Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Юлия Геннадьевна Газданова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Актюбинский педагогический техникум

Проведенных занятий:

3556

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Карина Рафаэльевна Сайфулина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Крымский федеральный университет им. Вернадского

Проведенных занятий:

819

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Надежда Ивановна Панюшкина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Петропавловский педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)