ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на прогрессии

 

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

 

 

Пусть улитка проползла:

 

в первый день: «а₁»

во второй день: «а₂»

в последний день: «а_n»  

 

Тогда:

 

а₁ + а_n = 10 м

 

а за «n» дней она проползла:

 

S_n = \(a_1+a_n\over2 \) · n   метров

 

Поскольку всего она проползла 150 метров, получаем:

 

S_n = 5n   <=>

 

<=>   150 = 5n   <=>

 

<=>   n = 30

 

Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.

 

Ответ: 30.

 

 

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

 

 

В первый день Вера подписала:

 

a₁ = 10 открыток

во второй – «а₂»

в последний – «а₁₆» открыток

 

Всего было подписано:

 

S_n = 640 открыток

 

Если количество подписываемых открыток увеличивалось на «d» каждый день, то:

 

S_n = \(2a_1+d•(n-1)\over2\) · n

 

Подставим числовые значения и вычислим:

 

640 = \( 2•10+15d\over2\) · 16   <=>

 

<=>   80 = 20 + 5d   <=>

 

<=>   d = 4

 

Тогда получим, что:

 

а₄ = а₁ + 3d = 10 + 3 · 4 = 22

 

Следовательно, за четвертый день было подписано 22 открытки.