Множество целых чисел

Преподаватель математики Дмитрий Айстраханов объясняет теорию целых чисел.

Математика – фундаментальная наука, как никогда востребованная в 21 веке. Однако развитие ее началось с создания, а затем усовершенствования навыков практического счета.

Натуральные числа как идеализация однородных, устойчивых и неделимых объектов возникли еще в доисторический период. Тогда человек решал простые бытовые задачи: подсчет голов домашнего скота, учет людей, дней и т.п. Сложение стало математической моделью процесса объединения нескольких множеств в одно. Для отделения части множества служило вычитание. Чтобы эта операция  была столь же полноценной, как сложение, был введен ноль и отрицательные числа.

Целыми числами являются натуриальные числа, отрицательные числа и ноль.

Первым шагом к созданию множества целых числе стало использование символа ноль (по-видимому, индийскими математиками) для обозначения цифры при позиционной записи чисел. Позже ноль стал признаваться полноценным числом, которое использовалось при необходимости обозначить полное отсутствие чего-либо или кого-либо.

Первые упоминания об использовании отрицательных чисел восходят к Древнему Китаю II в. до н.э. На заре своего развития отрицательные числа использовались в качестве арифметического эквивалента долга. Примечательно, что в Древней Греции, где, как известно, зародилась западная философия, основанная на принципах рациональности, отрицательные числа не признавались. Древнегреческий математик Диофант Александрийский уже в III в. н.э. знал «правило знаков» и умножал отрицательные числа для получения положительного конечного результата, однако отбрасывал отрицательные корни уравнений как невозможные.

В Европе отрицательные числа были «официально» признаны спустя тысячу лет и очень долгое время носили обидные прозвища – «абсурдные», «ложные», «мнимые». Ученые продолжали проводить корреляцию между отрицательным числом и понятием «долга» или «недостачи».  Сохранились сведения, что даже замечательный математик и философ Блез Паскаль, вычитая из ноля четыре, приходил к решению, равному нолю (потому что «нет ничего меньше, чем само ничто»). «Легализация» отрицательных чисел существенно упростила ряд математических операций: например, стал возможен перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, независимо от знака этого слагаемого.

Как мы уже поняли, отрицательные числа долгое время находились в статусе вспомогательного математического «инструмента». Лишь в XIX веке Уильям Гамильтон (ирландский математик) и Герман Грассман (немецкий физик и математик) создали вполне строгую и полную теорию отрицательных чисел.

Давайте зафиксируем самые важные теоретические положения данной темы. Все целые числа образуют множество целых чисел. Множество целых чисел бесконечно. Нельзя назвать наименьшее целое число, равно как нельзя назвать и наибольшее целое число. Наибольшее отрицательное число равняется «-1»; наименьшее положительное целое число равняется «1».