О чем важно помнить, чтобы решать уравнения без труда

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Предметы

Специализации

Данную статью могу порекомендовать ученикам 8-9 классов. Пригодится при повторении изученных тем и подготовки к экзаменам.

Начнем с самого простого: линейные уравнения типа: \(ax=b\)

Казалось бы, ничего сложного, решение: \(x={b\over a}\).

Но если мы рассмотрим уравнение, где \(a=0\) , а - любое число, например 3, то получим: \(0x=3\), т.е. получим уравнение, которое не имеет решения, так как на 0 делить нельзя.

Теперь пусть \(a=3\), \(b=0\), тогда решение уравнения \(3x=0\) \(X=0\).

Если же \(a=0\) и \(b=0\), то уравнение примет вид \(0x=0\). И вот в этом-то уравнении ученики делают ошибки, пишут ответ \(x=0\). А ведь произведение двух чисел равно нулю, если один из множителей равен нулю, не обязательно оба множителя. Значит, x - может быть любым числом.

Рассмотрим это правило на более сложном примере: \({2\over 6x+1}+{3 \over 6x-1}={30x+9\over 36x^2-1 }\)

Это дробно-рациональное уравнение, о решении которые мы разговаривали с вами в прошлой статье.

Укажем ОДЗ (область допустимых значений):

\(6x+1≠0 \)

\(6x-1≠0 \)

\(36x^2-1≠0\)

так как \(36x^2-1=(6x-1)(6x+1)\), то можно решить первые два выражения, из них получаем: \(x≠{1\over 6} \) и \(x≠-{1\over 6}\)

Теперь дробь справа переносим влево, не забываем менять знак выражения, и все выражение справа записываем в виде одной дроби:

\({2 \over 6x+1}+{3 \over 6x-1}-{30x+9\over 36x^2-1}=0\)

\({2(6x-1)+3(6x+1)\over (6x+1)(6x-1)} -{30x+9\over 36x^2-1}=0\)

\({12x-1+18x+3\over 36x^2-1}-{30x+9\over 36x^2-1}=0\)

\({30x+1-30x-9\over 36x^2-1}=0\)

Так как ОДЗ уже указано, приравниваем числитель к нулю: \(30x+1-30x-9=0\)

Приводим подобные слагаемые: \(Ox-8=0\). Тогда: \(Ox=8\). И как говорилось ранее, такое уравнение не имеет решений. Будьте внимательны, обидно решить уравнение и в самом конце допустить ошибку.

Теперь поговорим о квадратных уравнениях и неравенствах, эти задания объединяет квадратный трехчлен. Вот его-то дискриминант мы обычно находим. Любой ученик знает, что если D>0, квадратное уравнение имеет два различных корня, если D<0, то корней нет, а если D=0, то только один корень. Вот в последнем утверждении кроется ошибка. Если D=0, уравнение имеет два равных корня! Почему это важно?

Мы знаем, что квадратный трехчлен, для примера возьмем такой: \(2x^2+3x-4\) , всегда можно разложить на множители.

Для этого находим дискриминант: \(D=b^z-4aC=9+16=25=5^2. \).

И корни:\(x_1={-b+√D\over2a}={-3+5\over4}={2\over4}={1\over2}\) и \(x_2=(-b-√D)/2a=(-3-5)/4=(-8)/4=-2\) .

И запишем разложение: \(2x^2+3x-4=2(x-{1\over 2})(x+2)\)

Теперь рассмотрим квадратный трехчлен, у которого D=0: \(x^2-4x+4\). Его корни можно найти так: \(x={-b\over 2a}={4\over 2}=2\). Так вот, если мы будем думать, что корень один, то разложение получиться такое: \(x^2-4x+4=(x-2)\). Это неверно! Но так как корней два, то верно так: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\)

Теперь поговорим о квадратных неравенствах, рассмотрим тот случай, когда у квадратного трехчлена D<0. Обычный, среднестатистический ученик скажет, решений у такого неравенства нет, и будет неправ. В этом случае нужно применить теорему: Если у квадратного трехчлена D<0, то он принимает значения такого знака, который имеет коэффициент a. Переведу с русского на понятный: Если D<0 и a<0 , то квадратный трехчлен тоже <0, если же D<0, a>0, то квадратный трехчлен >0.

Как применяем при решении неравенств?

Например: \(2x^2+3x+4>0 \) \(D<0\) 2>0 значит неравенство верно при любом x.

Если же \(2x^2+3x+4<0 \) \(D<0\) 2>0 такое неравенство не имеет решений.

Но стоит заменить 2 на -2, получим: \(-2x^2+3x-4<0\) D<0 -2<0 неравенство верно при любом x.

А вот если: \(-2x^2+3x-4>0 \) D<0 -2<0 и у неравенства опять нет решений.

Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике.

Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок!

Автор: Ольга Лардыго

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе "Альфа". Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Елена Анатольевна Фомина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Орловский государственный университет

Проведенных занятий:

853

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Анна Александровна Хохлова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Проведенных занятий:

194

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Елена Михайловна Глущенко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Стерлитамакский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

460

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)