С 10 до 22.00 по МСК ежедневно

>Записаться на урок

Скалярное произведение векторов

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Предметы
Специализации
Векторы - это величины, которые  описываются как величиной, так и направлением. И для поиска скалярного произведения нужно найти косинус угла между векторами.

Как найти скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) определяется как
\( \overline{a }· \overline{b }\) \(= |a| |b|· ∠ (\overline{a }\overline{b })\)
где \(| a |-\) модуль, или величина \( a\),
\(| b |-\) модуль \(b\), 
\(∠ (\overline{a }\overline{b })\) - угол между векторами \(a\) и \(b\):
Скалярное произведение
Если два вектора сонаправлены,  то \( ∠cos (\overline{a }\overline{b })= ∠cos \;0=1\) скалярное произведение равно \( \overline{a }· \overline{b }\)\(=​​\)\( \overline{|a| }· \overline{|b| }\).
 
Пример 1. Рассмотрим два вектора \( \overline{a }\)  и  \( \overline{b }\) модуль \( \overline{a }\)  равен \(4\), а \( \overline{b }\) равен \(5\), а угол между ними равен \(60◦\). Найдите скалярное  произведение \( \overline{a }· \overline{b }\).
Решение:  \( 4 × 5 × cos 60◦ = 4 × 5 ×\frac{1}{2}= 10 \).
Ответ: \(10\).
  • Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\)  меньше \(90◦\) , то есть расположен на промежутке   \(0<∠ (\overline{a }\overline{b })<\frac{\pi}{2}\), то результат скалярного произведения будет больше \(0\) ,  то есть положительным.
 
  • Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) больше  \(90◦\) , то есть расположен на промежутке   \(\frac{\pi}{2}<∠ (\overline{a }\overline{b })<\pi\) , то результат скалярного произведения будет меньше  \(0\) , то есть отрицательным.
 
  • Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) равен  \(90◦\), то результат скалярного произведения будет равен  \(0\), так как \(cos\frac{\pi}{2}=0\).
         
Пример 2. Даны два вектора \( \overline{с }= -2\overline{a }+\overline{b }\) и \(\overline{d }=\overline{a }-\overline{b }\) , \(\overline{|a| }=4\sqrt{3}\) и \(\overline{|b| }=8\). Найти их скалярное произведение, если угол между ними равен \(45◦\).
Решение: Найдем произведение:  \((-2\overline{a }+\overline{b })(\overline{a }-\overline{b })=-2\overline{a }*\overline{a }+\overline{b }*\overline{a } +2\overline{a }*\overline{b }-\overline{b }*\overline{b }=-2\overline{a }^2+\overline{a }*\overline{b }+2\overline{a }*\overline{b }-\overline{b }^2=-2\overline{a }^2+3\overline{a }*\overline{b }-\overline{b }^2\)
Подставим угол \(45◦\)  и значения:  \(-2\overline{a }^2+3\overline{a }*\overline{b }* cos∠(\overline{a }\overline{b })-\overline{b }^2=-2*(4\sqrt{3})^2+3*4\sqrt{3}*8*cos∠45-8^2=-64+96\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}-64=32\).
Ответ: \(32\).
 

Часто задаваемые вопросы:

 

↪ Скалярное произведение позволяет определить, насколько два вектора сонаправлены друг с другом. Если скалярное произведение положительное, векторы направлены близко друг к другу. Если отрицательное, они направлены в противоположные стороны.

↪ Скалярное произведение коммутативно, то есть a·b = b·a.

↪ Скалярное произведение используется в физике, геометрии, инженерии и других областях для анализа направлений векторов, вычисления работ и энергий, определения проекций и углов между векторами.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе "Альфа". Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Альфинур Самерхановна Мурзабаева
Репетитор по математике
Стаж (лет)
36
Образование:
Стерлитамакская государственная педагогическая академия
Проведенных занятий:
1035
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Жанна Игоревна Стефанович
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
116
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Карина Рафаэльевна Сайфулина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Крымский федеральный университет им. Вернадского
Проведенных занятий:
819
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Похожие статьи