Задача по планиметрии

 

 

а) Докажите, что прямая О₁О₂ параллельна основаниям трапеции АВСD.

б) Найдите О₁О₂.

 

 

а) Построим чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из рисунка видно, что, согласно построению, точка О₁ как центр окружности  будет равноудалена от прямых AD и ВС на расстояние, равное радиусу. А это значит, что точка О₁ лежит на средней линии трапеции АВСD. Точно так же, точка О₂ лежит на средней линии трапеции АВСD. Так как эти точки принадлежат средней линии трапеции, то прямая О₁О₂ будет параллельна основаниям трапеции АВСD. Что и требовалось доказать.

 

 

 

б) Введем дополнительные обозначения.

 

Пусть точка К — середина стороны АВ, а точка L — середина стороны CD.

 

Точка О₁ равноудалена от прямых АВ, ВС и AD на расстояние радиуса, поэтому лучи АО₁ и ВО₁ являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Поэтому,

 

 

то есть, получается, что: 

 

Так как точка К является серединой отрезка АВ, то отрезок КО₁ является медианой, проведенной к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО₁В.

 

Аналогично треугольник СО₂D тоже прямоугольный, а отрезок LO₂ является медианой, проведенной к его гипотенузе CD. Соответственно, точки К, О₁, О₂ и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, мы можем записать и вычислить:

 

 

Ответ: 4.