Как найти точку пересечения плоскости и прямой

1. Найти точку пересечения плоскости \(x-2y+3z-8=0\) с прямой, заданной общими уравнениями:

 

 .

Решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными:

 

 

2. Найти точку пересечения плоскости \(x+y+3z-1=0\) с прямой, заданной каноническими уравнениями:

 

 

Можно было бы перейти от канонических уравнений к общему виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой, и плоскости, то есть можно подставить выражения для x,y и z из канонического уравнения в уравнение плоскости и определить их.

 

1) Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

 

 

2) Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:

 

\((t-1)+(t+2)+3*2t-1=0\), откуда t=0

 

3) Подставляем в выражения для x,y,z, находим ответ: x=-1, y=2, z=0.

 

Ответ: искомая точка M(-1;2;0).