Как решать иррациональные уравнения?

Разберемся на конкретном примере: 

Задание 13   

Решите уравнение 

Решение

Сделаем замену переменной:  Получаем:

Заметим, что  и, поэтому,  получаем:

Воспользуемся определением модуля. Получаем:

Ответ: 

Итак, уравнение решено. На что обратить внимание?

Первое. В изначальном уравнении у нас присутствует «корень под корнем». Мы изящно выходим из этой ситуации, сделав замену внутреннего корня на новую переменную:  

Таким образом, мы получаем более простое иррациональное уравнение, в котором есть два радикала, связанные между собой знаком плюс.

Причем оба подкоренных выражения являются формулами сокращенного умножения. Первый корень – это квадрат суммы, а второй корень – это квадрат разности.

Далее решение продолжаем способом, при котором подкоренные выражения «сворачиваем» по соотвествующим формулам сокращенного умножения. Процедура эта стандартная, и в решении подробно не расписана.

Следующий этап, который тоже не расписан в решении: под корнем получаеся скобка в квадрате, что позволяет нам избавиться и от оставшихся радикалов.

Второй момент. Вот здесь находится первый подводный камень в решении данного уравнения. Необходимо помнить, что подкоренное выражение у нас всегда неотрицательное, т.е. «больше или равно нулю». Это позволяет записать подкоренные выражения, используя определение модуля. Что мы и сделали. У нас вместо суммы двух корней получилась сумма двух двучленов «по модулю».

Многие ученики бояся уравнений с модулями. Поверьте, это только из-за недостатка практики. Здесь работает простое правило: чем больше решаешь, тем меньше боишься!

Итак, имеем сумму двух выражений по модулю. Первое выражение сразу же может быть раскрыто на том основании, что при замене переменных мы, избавившись от радикала: , понимаем, что выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Отсюда и условие, что . На этом основании мы доказали, что первое выражение «по модулю» будет всегда положительное. Так как «2+положительное число y» всегда будет положительным.

И третий момент. Второе выражение «по модулю». Это не так очевидно, как все предыдущее. Но посмотрите: выражение «y - 2» действительно меньше или равно нулю. Это кажется невероятным, но, согласно определению модуля, выражение под модулем действительно «меньше или равно нулю». Это условие позволяет нам понять, что значение «у» ограничено как «слева», так и «справа». Т.е «y» больше «0» - это ограничение «слева», и «y» меньше «2» - это и есть ограничение «справа».