Как по координатам вершин треугольника записать уравнения сторон и уравнение биссектрисы

 

Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула, от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

 

1. Найдем уравнение стороны АВ. В качестве точки прямой можно взять точку А с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор АВ. Найдем координаты вектора АВ:

 

2. Тогда каноническое уравнение стороны АВ запишется:

 

3. Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны ВС: координаты вектора 

 

4. Откуда каноническое уравнение:

 

Следовательно, общее уравнение: 3x+4y+22=0.

 

5. Для стороны CА: координаты направляющего вектора

 

6. Каноническое уравнение: 

 

7. Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах АВ и ВС треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b).

 

8. Для нахождения орта a необходимо знать координаты вектора BA:

 

соответственно a определится как:

 

 

 

 

9. Аналогично определим орт b:

 

 

Теперь определим их сумму:

 

 

10. Тогда каноническое уравнение биссектрисы: