ЕГЭ по математике, профильный уровень. Иррациональные неравенства

 

Решите неравенство:

 

 

 

 

Как мы видим, в этом примере присутствует квадратный корень, что и делает это неравенство иррациональным. Мы обязательно должны учесть, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. После этого мы можем избавиться от иррациональности, если возведем этот корень в квадрат, который, кстати, уже так и стоит в этом примере. Получается, что данное неравенство будет эквивалентно следующей системе неравенств:

 

 

Согласитесь, что в таком виде, после преобразований, работать с этим неравенством стало намного удобнее.

 

Второе неравенство в этой системе удобно решить методом интервалов, учитывая ограничения, накладываемые выражением "х + 2", стоящим в знаменателе. Ограничение "х не равно нулю" не актуально, так как выше мы определили для этого неравенства другое условие, при котором "х меньше или равен -3/2". Запишем второе неравенство и преобразуем его:

 

 

Мы получили в числителе выражение, которое позволяет определить знаки на интервалах, нанесенных на числовую прямую. Отметим на числовой прямой точки, как показано на рисунке:

 

Эти точки являются границами интервалов, обозначающих множество решения нашего неравенства. При этом, точки -6 и 3/2 входят в множество решений, а точки -2 и 0 не входят.

Учитывая полученное выше неравенство \(x ≤ -{ 3\over2}\)  запишем решение неравенства: