Решение показательных уравнений

Преподаватель математики Андрей Алексеевич продолжает рассматривать задачи профильного уровня для подготовки к ЕГЭ. Разбираемся с заданием из темы «Показательные уравнения».

Задание №13

Условие:

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:

а) Преобразуем уравнение, используя свойства степени.

В первом слагаемом «+1», это «4». Запишем первое слагаемое как «4», умноженное на оставшееся выражение. Это выражение получится точно такое же, как и второе слагаемое.

Затем вынесем за скобку общий множитель этих двух слагаемых, это будет целиком второе слагаемое. В скобках останется выражение «(4 + 1)», что соответственно будет равно «5».

Разделим обе части уравнения на «5». В правой части получим «20 :  5 = 4». «4» мы можем представить как «4 в первой степени». Поскольку в обеих частях уравнения мы пришли к выражениям, где в основании степени стоит одно и то же число «4», то мы имеем право перейти к рассмотрению отдельного уравнения, в котором приравниваем показатели степени. После преобразований получаем классическое квадратное уравнение. Кратко запишем ход решения:

Найдем корни этого уравнения через дискриминант. Дискриминант получается «больше нуля», значит у нас будет два корня. Вычисляем корни, получаем

Первую часть задания мы выполнили. Переходим ко второй части.

б) Оценим сначала    целыми числами:   В это неравенство во все три части внесем «1» двумя способами. Сначала прибавим «1» ко всем трем частям, а во втором случае отнимем «1».

Тогда получим:

 и 

Мы видим, что в средней части неравенства стоят выражения, соответствующие полученным корням уравнения. И мы их можем оценить относительно заданного отрезка.

Отрезку    принадлежит только один корень:  

Записываем ответ.

Ответ а)  б)